segunda-feira, 7 de maio de 2012

matemá geometria

    Geometria: Conceitos básicos 
          


          
Introdução à Geometria Euclidiana
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.


Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".


Pontos Colineares e semi-retas
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
Semi-reta
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.

As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.


Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
AB e BC
são consecutivos
MN e NP
são consecutivos
EF e GH
não são consecutivos

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD
são colineares
MN e NP
são colineares
EF e FG
não são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.


Ponto Médio de um segmento
M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.

Construção do ponto médio com régua e compasso
Com o compasso centrado no ponto A, traçamos um arco com o raio igual à medida do segmento AB;
Com o compasso centrado no ponto B, traçamos um outro arco com o mesmo raio que antes;
Os arcos terão interseção em dois pontos localizados fora do segmento AB;
Traçamos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na interseção dos arcos;
O ponto médio M é a interseção da reta (vermelha) com o segmento AB.


Retas paralelas
Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes ("a mesma reta") elas são paralelas.
Retas paralelas
É usual a notação a||b, para indicar que as retas a e b são paralelas.
Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.
Construção de paralela com régua e compasso
Dada uma reta r e um ponto C fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela à reta dada que passa por C. Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e culminou com outras definições de geometrias denominadas "não Euclidianas", que embora sejam utilizadas na prática, não se comportam da forma usual como um ser humano olha localmente para um objeto geométrico.
Centrar o compasso no ponto C, traçar um arco que corta a reta em E.
Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no ponto E e traçar um outro arco cortando a reta em F.
Do ponto E, com abertura igual à corda CF, traçar um arco para obter D.
Traçar uma reta ligando os pontos C e D e observar que a reta que passa em CD é paralela à reta que passa em EF.


Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).
Retas concorrentes


Retas perpendiculares
Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação ab para indicar que as retas a e b são perpendiculares.
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.
Construir perpendicular com régua e compasso (1)
Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular à primeira, da seguinte forma:
Centrar o compasso no ponto P e com uma abertura maior do que a distância de P à reta e traçar um arco cortando a reta em dois pontos A e B;
Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual à medida do segmento AB traçar um arco;
Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que antes traçar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;
A reta que une os pontos P e C é perpendicular à reta dada, Portanto AB é perpendicular a PC.

Construir perpendicular com régua e compasso (2)
Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular à reta dada, do seguinte modo:
Centrar o compasso no ponto P e marcar os pontos A e B sobre a reta que estão à mesma distância de P;
Centrar o compasso no ponto A e raio igual à medida de AB para traçar um arco;
Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traçar um outro arco;
Os arcos cruzam-se em C;
A reta contendo PC é perpendicular à reta contendo o segmento AB.


Retas transversais e ângulos especiais
Reta transversal a outras retas, é uma reta que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.
Retas tranversais
Na figura acima, a reta t é transversal às retas m e n e estas três retas formam 8 ângulos, sendo que os ângulos 3, 4, 5 e 6 são ângulos internos e os ângulos 1, 2, 7 e 8 são ângulos externos. Cada par destes ângulos, recebe nomes de acordo com a localização em relação à reta transversal e às retas m e n.
Ângulos Correspondentes Estão do mesmo lado da reta transversal.
Um deles é interno e o outro é externo.
1 e 52 e 63 e 74 e 8
Ângulos Alternos Estão em lados opostos da reta transversal.
Ambos são externos ou ambos são internos.
1 e 82 e 73 e 64 e 5
Ângulos Colaterais Estão do mesmo lado da reta transversal.
Ambos são externos ou ambos são internos.
1 e 72 e 83 e 54 e 6
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:
alternosalternos internos3 e 64 e 5
alternos externos1 e 82 e 7
colateraiscolaterais internos3 e 54 e 6
colaterais externos1 e 72 e 8
Propriedades das retas tranversais
Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.
Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Na figura ao lado, o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2.
Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.
Ângulos de lados paralelos: são ângulos cujos lados são paralelos, sendo que tais ângulos podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando ambos os ângulos são agudos, retos ou obtusos.
Suplementares: Quando ambos os ângulos são retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.
Ângulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e também podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando os dois ângulos são: agudos, retos ou obtusos.
Suplementares: Quando os dois ângulos são retos ou um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.


Alguns exercícios resolvidos
Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura anexada.
  1. Calcular a medida do ângulo x.
    Solução: x/2=40graus, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80º.
  2. Calcular a medida do ângulo x.
    Solução: 2x+40º=180º (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70º.
  3. Calcular as medidas dos ângulos x e y.
    Solução: Como x+2x/3=180º (ângulos colaterais externos), então 3x+2x=540º, logo x=108º. Mas, y=2x/3 (ângulos opostos pelos vértices) e temos que y=72º
  4. Calcular as medidas dos ângulo a, b e c.
    Solução: Como b+120º=180º (ângulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), então b=60º, mas a=c (ângulos agudos com lados perpendiculares) e a+b+90º=180º(soma dos ângulos de um triângulo). Assim: a=30º e c=30º.
  5. Calcular as medidas dos ângulos a e b, se as retas r, s e t são paralelas.
    Solução: Como a=35º (r||s e os ângulos correspondentes), segue que b-a=70º (s||t e os ângulos correspondentes). Assim b=105º.
  6. Se as retas r e t são paralelas, determinar as medidas dos ângulos a e b.
    Solução: a+125º=180º (ângulos com lados paralelos um agudo e outro obtuso) e b+60º=125º (ângulos agudos com lados paralelos). Logo a=55º e b=65º.
      

                                              CONTAS MATEMÁTICA
                                           

    1 - ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

    A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS

    Os números foram inventados pelos homens. Mas sua criação não aconteceu de repente surgiu da necessidade de contar coisas. O homem primitivo, por exemplo, contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda, fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos com maior rapidez levou o homem a criar símbolos, para representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecer como alguns povos dessa época contavam.

    A NUNERAÇÃO DOS ROMANOS

    Os romanos representavam quantidades usando as próprias letras de seu alfabeto:

    I - valia uma unidade
    V - valia cinco unidades
    X - representava dez unidades
    L - indicava cinqüenta unidades
    C - valia cem unidades
    D - representava quinhentas unidades
    M - indicava mil unidades

    As quantidades eram representadas colocando-se os símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte regra:

    - Os símbolos iguais juntos, até três , significava soma de valores:

    II = 1 + 1 = 2

    XXX = 10 + 10 + 10 = 30

    CCC = 100 + 100 + 100 = 300

    - Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor aparecendo antes do maior, significava subtração de valores:

    IV = 5 - 1 = 4

    XL = 50 - 10 = 40

    XC = 100 - 10 = 90

    - Dois símbolos diferentes juntos, com o maior aparecendo antes do menor, significa soma de valores:

    LX = 50 + 10 = 60

    CCXXX = 200 + 30 = 230

    DC = 500 + 100 = 600

    MMMD = 3000 + 500 = 3500

    - Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras correspondentes à quantidade de milhares:
    __
    IV = 4000
    _
    V = 5000
    _
    VCCCXX = 5320
    _____
    XXIII = 23000

    obs: Os Romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero


    A NÚMERAÇÃO DOS HINDUS


    Foram os hindus que inventaram os símbolos que usamos até hoje :
    0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9

    Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles escrevemos todos os números.

    Mais adiante vamos falar sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe, por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem diferentes.



    NÚMEROS NATURAIS



    Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc ) empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,..........

    Esses números são chamados de números naturais. Existem infinitos números naturais os números que aparecem juntos, como na seqüência acima são chamados números consecutivos.

    Por exemplo 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem depois ) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13

    Observações:

    1) todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois)
    2) todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exceção do zero
    3) Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.

    PAR OU IMPAR

    Um número natural é par quando termina em 0,2,4,6 ou 8
    Os números pares são: 0,2,4,6,8,10,12,14,16......
    Um número é ímpar quando termina em 1,3,5,7, ou 9.
    Os números ímpares são: 1,3,5,7,9,11,13,15.......



    EXERCICIOS

    1) Determine

    a) O sucessor de 199
    R: 200
    b) o sucessor de 7.777
    R : 7.778
    c) o sucessor de 1.005.000
    R: 1.005.001
    d) o sucessor de 7.777.779
    R: 7.777.780
    e) o sucessor de 4.060.999
    R: 4.061.000
    f) o antecessor de 399
    R: 398
    g) o antecessor de 6.666
    R: 6.665
    h) o antecessor de 50.000
    R: 49.999
    i) o antecessor de 6.084.000
    R: 6.083.999
    j) o antecessor de 1.000.000
    R: 999.999

    2) Adicione

    a) 137 com o seu sucessor
    R: 137 + 138 = 275
    b) 298 com o seus antecessor
    R: 297 + 298 = 595

    3) Pense em todos os números naturais que se escreve com dois algarismos

    a) Quantos são pares?
    R: 45

    b) Quantos são ímpares?
    R: 45



    ADIÇÃO

    juntando, quanto dá?

    A professora de língua Portuguesa indicou aos alunos de 5° série os livros que eles deverão ler no primeiro bimestre do ano letivo, o primeiro tem 64 páginas e o segundo têm 72 páginas. Nesses dois livros, quantas páginas, ao todo, os alunos vão ler?
    Devemos contar as 72 páginas de um livro mais as 64 páginas do outro. Partindo de 72 e contando mais 64 vemos chegar ao resultado. Essa contagem é demorada, não é? Por isso, você aprendeu a fazer esta conta:

    72 + 64 = 136
    ou
       72
    + 64
    ----
    136

    Adicionar significa somar, juntar , ajuntar, acrescentar. No exemplo acima, os números 72 e 64 são parcelas da adição. O resultado, 136, é chamado soma. Veja outro exemplo:

    600 + 280= 880—soma
    parcelas

    Vamos somar os números 272 e 339 em duas ordens diferentes calcule e compare os resultados

    a) 272 + 339
    b) 339 + 272

    Na matemática, a operação da adição é usada quando devemos juntar duas ou mais quantidades. Consideremos, então, as seguintes situações em que vamos empregar a operação de adição


    1º EXEMPLO

    Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa empresa?
    Resolução
    Para resolver esse problema, devemos fazer 1748 + 566, ou seja

    1748---parcela
    +566---parcela
    ----
    2314---soma ou total (resultado da operação)
    logo, podemos dizer que nessa empresa trabalham 2314 pessoas

    2º EXEMPLO

    Em uma escola, o início das aulas é às 7h 30min. Como cada aula tem 50 minutos de duração, a que horas termina a primeira aula?

    Resolução
    Para resolver esse problema, devemos fazer 7h 30min + 50 min, ou seja

    7h 30 min----parcela
    + 50 min----parcela
    ---------
    7h 80 min----soma ou total

    Como 1 hora tem 60 minutos, então 80 minutos correspondem a 1h 20 min. Então 7h 80 min = 7 h + 1h 20 min = 8 h 20 min
    logo, podemos dizer que a primeira aula termina às 8 h 20 min

    3º EXEMPLO

    Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Quantas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2008?

    Resolução
    Para resolver o Problema, devemos calcular 49 + 18 + 5, ou seja :

    49---parcelas
    18---parcelas
    +5---parcelas
    --
    72---soma ou total
    Logo, podemos dizer que essa equipe disputou 72 partidas

    EXERCÍCIOS

    1) Calcule as somas

    a) 10 + 11 = 21
    b) 10 + 21 = 31
    c) 10 + 31 = 41
    d) 10 + 41 = 51
    e) 10 + 51 = 61
    f) 10 + 61 = 71
    g) 10 + 71 = 81
    h) 10 + 81 = 91
    i) 10 + 91 = 101
    j) 12 + 66 = 78
    l) 13 + 48 = 61
    m) 67 + 89 = 156
    n) 97 + 89 = 186
    o) 56 + 87 = 143
    p) 84 + 77 = 161
    q) 38 + 98 = 136
    r) 69 + 73 = 142
    s) 83 + 99 = 182
    t) 73 + 37 = 110
    u) 75 + 23 = 98
    v) 37 + 67 = 104
    x) 88 + 88 = 176
    z) 99 + 99 = 198

    2) calcule as somas

    a) 110 + 100 = 210
    b) 120 + 101 = 221
    c) 130 + 111 = 241
    d) 140 + 121 = 261
    e) 150 + 131 = 281
    f) 170 + 132 = 302
    g) 180 + 134 = 314
    h) 190 + 135 = 325
    i) 200 + 136 = 336
    j) 201 + 137 = 338
    l) 210 + 138 = 348
    m) 220 + 139 = 359
    n) 230 + 140 = 370
    o) 240 + 150 = 390
    p) 250 + 160 = 410
    q) 260 + 170 = 430
    r) 270 + 180 = 450
    s) 280 + 190 = 470
    t) 290 + 200 = 490
    u) 311 + 212 = 523
    v) 548 + 645 = 1193
    x) 665 + 912 = 1577
    z) 987 + 789 = 1776

    3) Efetue as adições

    a) 1487 + 2365 = 3852
    b) 6547 + 5478 = 12025
    c) 4589 + 4587 = 9176
    d) 3258 + 9632 = 12890
    e) 7896 + 5697 = 13593
    f) 5423 + 8912 = 14335
    g) 7463 + 9641 = 17104
    h) 2536 + 5847 = 8383
    i) 7788 + 9988 = 17776
    J) 1122 + 4477 = 5599
    l) 7946 + 3146 = 11092
    m) 4562 + 3215 = 7777
    n) 1478 + 8632 = 10110
    o) 8437 + 2791 = 11228
    p) 2491 + 8461 = 10952
    q) 6258 + 6412 = 12670
    r) 5353 + 7887 = 13240
    s) 3226 + 9558 = 12784
    t) 1112 + 9994 = 11106
    u) 6537 + 4538 = 11075
    v) 2197 + 8617 = 10814
    x) 1002 + 9913 = 10915
    z) 9999 + 8888 = 18887

    4) Efetue as adições

    a) 296 + 1634 + 98 = 2028
    b) 109 + 432 + 7482 = 8023
    c) 48 + 16409 + 287 = 16744
    d) 31 + 1487 + 641 + 109 = 2268
    e) 3412 + 1246 = 4658

    5) Determine a soma do número 273 com o seu sucessor
    R: 547

    6) Um objeto custa R$ 415.720,00. O comprador terá ainda R$ 28.912,00 de despesa de frete. Quanto o comprador vai pagar?
    R: 444632

    7) Ao receber o meu salário paguei R$ 437,12 de aluguel, R$ 68,14 de impostos. R$ 1.089,67 de gastos com alimentação e ainda me sobraram R$ 749,18. Quanto recebi de salário?
    R: 2344,11

    8) Um menino estuda 2 horas e 45 minutos pela manhã e 4 horas e 30 minutos à tarde. Quantos minutos estuda diariamente?
    R: 435 min

    9) Um automóvel passou pelo quilômetro 435 de uma rodovia. Ele ainda deverá percorrer 298 quilômetros até chegar ao seu destino. Quantos quilômetros da estrada vai percorrer para chegar ao destino?
    R: 733

    10) Em 1990 o Brasil vendeu para o exterior 283.356 veículos e, em 1991, essa venda foi de 345.760 veículos. Quantos veículos o Brasil vendeu para o exterior nesses dois anos?
    R: 629.116

    11) Uma empresa tem sede em São Paulo e filiais em outros estados. Na sede trabalham 316 pessoas e nas filiais 1098 pessoas. Quantas pessoas trabalham nessa empresa?
    R: 1.414

    12) Em um condomínio, há 675 lotes já vendidos e 1095 lotes para vender. Quantos lotes de terreno há nesse condomínio?
    R: 1770

    13) Uma escola funciona em dois turnos. No turno matutino há 1407 alunos e no turno vespertino há 1825 alunos. Quantos alunos estudam nessa escola?
    R: 3232

    14) Uma empresa produziu no primeiro trimestre 6905 peças. no segundo trimestre, a mesma empresa produziu 795 peças a mais que no primeiro trimestre. Nessas condições:

    a) Quantas peças a empresa produziu no segundo trimestre?
    R: 7700

    b) Quantas peças a empresa produziu no semestre?
    R: 14605

    15) Nei comprou um aparelho de som por 635 reais e as caixas de som por 128 reais. Tendo pago 12 reais pela instalação, qual a quantia que ele gastou ?
    R: 775

    16) De acordo com o censo realizado em 1991, o estado da Paraíba tem 1.546.042 homens e 1.654.578 mulheres. Qual é a população da Paraíba segundo esse censo?
    R: 3.200.620

    17) Calcule:

    a) 1705 + 395 = 2100
    b) 11.048 + 9.881 = 20929
    c) 4.907 + 62.103 = 67010
    d) 275.103 + 94.924 = 370027
    e) 545 + 2.298 + 99 = 2.942
    f) 7.502 + 209.169 + 38.425 = 255.096



    PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

    Vamos observar a seguinte situações:

    1º) consideremos os números naturais 40 e 24 e vamos determinar a sua soma ?
     40 + 24 = 64

    trocando a ordem dos números, vamos determinar a sua soma
    24 + 40 = 64

    De acordo com as situações apresentadas, podemos escrever
    40 + 24 = 24 + 40

    Esse fato sempre vai ocorrer quando consideremos dois números naturais Daí concluímos
    Numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Essa propriedade é chamada PROPRIEDADE COMUTATIVA DA ADIÇÃO

    2º) Consideremos os números naturais 16,20 e 35 e vamos determinar a sua soma:

    16 + 20 + 35
    =36 + 35
    =71

    16 + 20 + 35
    = 16 + 55=
    =71

    De acordo com as situações apresentadas, temos
    (16 + 20) + 35 = 16 + (20 + 35)

    Esse fato se repete quando consideramos três números naturais quaisquer Então: Numa adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modo diferentes. Essa propriedade é chamada PROPRIEDADE ASSOCIATIVA DA ADIÇÃO

    3º) Consideremos os números naturais 15 e 0 e vamos determinar a sua soma, independentemente da ordem dos números:

    15 + 0 = 15
    0 + 15 = 15

    Você nota que o número o não influi no resultado da adição.
    Então Numa adição de um número natural com zero a soma é sempre igual a esse número natural.
    Nessas condições, o numero zero é chamado ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO.



    SUBTRAÇÃO



    Na matemática, a operação da subtração é empregada quando devemos tirar uma quantidade de outra quantidade.

    veja o exemplo

    O estádio do Pacaembu, na cidade de São Paulo, tem capacidade para 40.000 pessoas. È também na cidade de São Paulo que se encontra o estádio do Morumbi que tem capacidade para 138.000 pessoas.
    Para se ter uma idéia do tamanho do Morumbi, se colocarmos nele 40.000 ainda sobrarão muitos lugares. Quanto sobrarão?

    Dos 138.000 lugares devemos tirar os 40.000 assim
    138.000 - 40.000 = 98.000

    sobrarão 98.000 lugares.
    Subtrair significa tirar,diminuir.

    Na subtração anterior, o número 138.000 é chamado minuendo e 40.000 é o subtraendo, o resultado, 98.000, é chamado diferença ou resto.

    EXERCÍCIOS

    1) calcule as subtrações

    a) 47 - 31= (R: 16)
    b) 58 - 45= (R: 13)
    c) 65 - 57= (R : 8)
    d) 89 - 65= ( R: 24)
    e) 97 - 21= (R: 76)
    f) 78 - 34= (R: 44)
    g) 56 - 31= (R: 25)
    h) 87 - 78= (R: 9 )
    i) 98 - 78= (R: 20)
    j) 48 - 29= (R: 19)
    l) 38 - 29= ( R: 9)
    m) 68 - 59= (R: 9 )
    n) 56 - 37= (R: 19)
    o) 23 - 19= (R: 4)
    p) 99 - 81= (R: 18)
    q) 21 - 19= (R: 2)
    r) 23 - 22= (R: 1)
    s) 18 - 14= (R: 4)
    t) 74 - 49= (R: 25)
    u) 74 - 37= (R: 37)
    v) 74 - 52= (R: 22)
    x) 74 - 63= (R: 11)
    z) 96 - 13= (R: 83)

    2) Calcule as Subtrações

    a) 72224-6458= (R: 65766)
    b) 701-638= (R: 63)
    c) 131003-88043= (R: 42960)
    d) 1138-909= (R: 229)
    e) 80469-6458 = (R: 74011)
    f) 866 - 638 = (R: 228)
    g) 131012-88142= (R: 42870)
    h)2238 - 909 = (R: 1329)
    i) 802-638 = (R: 164)

    3)Dom Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em 1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu?
    R: 1825

    4) Um avião Boeing 747 pode transportar 370 passageiros e um avião DC-10 pode transportar 285 passageiros. Quantos passageiros o Boeing 747 pode transportar a mais que o DC10?
     (R: 85 passageiros)

    5) À vista um automóvel custa 26.454 reais. À prazo o mesmo automóvel custa 38.392 reais. A diferença entre o preço cobrado é chamado de juros. Qual é a quantia que pagará de juros?
    (R: 11.938)

    6) Um avião pode transportar 295 passageiros. Em determinado vôo, o avião está transportando 209 passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?
    (R: 86 )

    7) Se Antonio tem 518 selos e Pedro tem 702 selos, Quantos selos Pedro tem a mais que Antonio?
    (R: 184 )

    8) Ézio tem 95 reais e quer comprar uma máquina fotográfica que custa 130 reais. Quantos reais faltam para ele comprar a máquina?
    (R: 35)

    9)De acordo com o Censo de 1980, a população de uma cidade era de 79.412 habitantes. Feito o Censo em 1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94.070 habitantes. Qual foi o aumento da população dessa cidade nesse período de tempo?
    (R: 14.658)

    10)Uma industria, no final de 1991, tinha 10.635 empregados. No inicio de 1992 em virtude da crise econômica dispensou 1.880 funcionários. Com quantos funcionários a indústria ficou?
    (R: 8.755)

    11) Qual a diferença entre 10.000 e 5.995?
    (R: 4005 )

    12) Quantas unidades faltam a 499 para atingir 1 unidade de milhar?
    (R: 501)

    13) Efetue:

    a) 2620 - 945 = (R: 1.675)
    b) 7000 - 1096 = (R: 5904)
    c) 11011 - 7997 = (R: 3014)
    d) 140926 - 78016 = ( R: 62910)

    14) Considere os números 645 e 335. Nessas condições:

    a) Determine a diferença entre eles
    R: 310

    b) Adicione 5 unidades ao primeiro número e 5 unidades ao segundo número e calcule a diferença entre os novos números que você obteve.
    R: 650,340, 310


    MULTIPLICAÇÃO


    A multiplicação é uma adição de parcelas iguais.
    veja
    3+3+3+3 = 12

    Podemos representar a mesma igualdade por
    4 x 3 = 12 ou 4 . 3 = 12

    Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal . ou x

    Na multiplicação 4 x 3 = 12
    dizemos que;

    4 e 3 são os fatores
    12 é o produto


    1º exemplo

    Um edifício de apartamentos tem 6 andares. Em cada andar a 4 apartamentos. Quantos apartamentos tem o edifício todo?

    Resolução

    Para resolver esse problema, podemos fazer
    4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

    Essa mesma igualdade pode ser representada por:
    6 x 4 = 24
    Logo podemos dizer que o edifício tem 24 apartamentos

    2° Exemplo

    A fase final do torneio de voleibol da liga nacional é disputado por 4 equipes. Cada equipe pode inscrever 12 jogadores. Quantos jogadores serão inscritos para disputar a fase final desse torneio?

    resolução

    Para resolver esse problema podemos fazer
    12 + 12 + 12 + 12 = 48

    Essa mesma igualdade pode ser representada por:
    4 x 12 = 48

    EXERCÍCIOS

    1) Calcule as multiplicações

    a) 5 x 5 = 25
    b) 5 x 15 = 75
    c) 5 x 115 = 575
    d) 5 x 25 = 125
    e) 5 X 125 = 625
    f) 5 x 55 = 275
    g) 5 x 75 = 375
    h) 5 x 375 = 1875
    i) 5 x 1257 = 6285
    j) 6 x 5 = 30
    l) 6 x 15 = 90
    m) 6 x 115 = 690
    n) 6 x 25 = 150
    o) 6 x 125 = 750
    p) 6 x 55 = 330
    q) 6 x 75 = 450
    r) 6 x 375 = 2250
    s) 6 x 1257 = 7542
    t) 7 x 5 = 35
    u) 7 x 15 = 105
    v) 7 x 115 = 805
    x) 7 x 25 = 175
    z) 7 x 125 = 875
    w) 7 x 55 = 385

    2) Calcule as multiplicações

    a) 7 x 75 = 525
    b) 7 x 375 = 2625
    c) 7 x 1257 = 8799
    d) 8 x 5 = 40
    e) 8 x 15 = 120
    f) 8 x 115 = 920
    g) 8 x 25 = 200
    h) 8 x 125 = 1000
    i) 8 x 55 = 440
    j) 8 x 75 = 600
    l) 8 x 375 = 3000
    m) 8 x 1257 = 10056
    n) 9 x 5 = 45
    o) 9 x 15 = 135
    p) 9 x 115 = 1035
    q) 9 x 25 = 225
    r) 9 x 125 = 1125
    s) 9 x 55 = 495
    t) 9 x 75 = 675
    u) 9 x 375 = 3375
    v) 9 x 1257 = 11313
    x) 9 x 999 = 8991
    z) 9 x 123 = 1107

    3) Efetue as Multiplicações

    a) 153 x 7 = 1071
    b) 1007 x 9 = 9063
    c) 509 x 62 = 31558
    d) 758 x 46 = 34868
    e) 445 x 93 = 41385
    f) 289 x 140 = 40460
    g) 1782 x 240 = 427680
    h) 2008 x 405 = 813240
    i) 2453 x 1002 = 2457906

    4) Efetue as multiplicações

    a) 28 x 0 = 0
    b) 49 x 10 = 490
    c) 274 x 10 = 2740
    d) 158 x 100 = 15800
    e) 164 x 1000 = 164000
    f) 89 x 10000 = 890000

    5) Considerando 1 mês = 30 dias e 1 ano = 365 dias, uma semana = 7 dias, determine:

    a) quantos dias há em 15 semanas completas.
    (R: 105 dias)

    b) Quantos dias há em 72 meses completos.
    (R: 2160 dias)

    c) Quantos dias há em 8 anos completos.
    (R: 2920 dias)

    6) Para uma demonstração de ginástica, um professor de Educação Fisíca prepara 64 grupos de alunos. Cada grupo é formado por 25 alunos. Quantos alunos devem participar dessa demonstração?
    R: 1600

    7) Com 12 prestações mensais iguais de 325 reais posso comprar uma moto. Quanto vou pagar por essa moto?
    R: 3900 reais

    8) Qual é o número natural que você vai obter quando multiplicar 736 por 208?
    R: 153.088

    9) Para cobrir o piso de um barracão foram colocados 352 placas de 35 metros quadrados cada uma. Quantos metros quadrados tem o piso desse barracão?
    R: 12320 metros quadrados

    10) Um carro bem regulado percorre 12 quilômetros com um litro de gasolina. Se numa viagem foram consumidos 46 litro, qual a distância em quilômetros que o carro percorreu?
    R: 552 quilômetros

    11) Em um teatro há 18 fileiras de poltronas. Em cada fileira foram colocadas 26 poltronas. Quantas poltronas há nesse teatro?
    R: 468 poltronas
    .
    12) Em uma multiplicação, os fatores são 134 e 296. Qual o produto?
    R: 39.664

    13) Numa mercearia há 7 caixas de bombons e cada caixa contém 3 dúzias de bombons. Quantos bombons há na mercearia?
    R: 252

    14) Uma pessoa deu R$ 4.700,00 de entrada na compra de um objeto e pagou mais 6 prestações de R$ 2.300,00. Quanto custou o objeto?
    R: 18.500

    15) Um motorista percorreu 749 km em 6 dias. Nos cinco primeiros dias andou 132 km por dia. Quanto percorreu no 6º dia ?
    R: 89

    16) Calcule:

    a) 19x6= 114
    b) 46x12= 552
    c) 321x11= 3531
    d) 329x25= 8225
    e) 1246x24= 29904
    f) 67632x101= 6830832

    17) Calcule as contas:

    a) 18x5x2= 180
    b) 5x2x24= 240
    c) 2x5x44= 440
    d) 37x2x5= 370
    e) 12x4x5= 240
    f) 4x5x15= 300

    PROPRIEDADES ESTRUTURAIS DA MULTIPLICAÇÃO


    1) FECHAMENTO

    O produto de dois números naturais é um número natural
    5 x 3 = 15

    2) COMUTATIVA

    A ordem dos fatores não altera o produto.
    2 x 7 = 14
    7 x 2 = 14
    assim: 2 x 7 = 7 x 2

    3) ELEMENTO NEUTRO

    O número 1 na multiplicação é um número neutro
    5 x 1 = 5
    1 x 5 = 5

    4) ASSOCIATIVA

    A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores
    (3 x 4 ) x 5 = 12 x 5 = 60
    3 x ( 4 x 5 ) = 3 x 20 = 60


    5) DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO A ADIÇÃO

    Na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplica-se cada um dos termos por esse número .

    veja:
    1) 2 x (5+3) = 2 x 8 = 16

    2) 2 x 5 + 2 x 3 = 10 + 6 = 16

    DIVISÃO EXATA

    Consideremos dois números naturais, dados numa certa ordem, 10 é o primeiro deles e 2 é o segundo .
    Por meio deles determina-se um terceiro número natural que, multiplicado pelo segundo dá como resultado o primeiro. Essa operação chama-se divisão e é indicada pelo sinal :
    Assim,
    10:2 = 5 porque 5x2 = 10
    Na divisão 10:2=5, dizemos que:
    10 é o dividendo
    2 é o divisor
    5 é o resultado ou quociente

    EXEMPLO

    Um colégio levou 72 alunos numa excursão ao jardim zoológico e para isso repartiu igualmente os alunos em 4 ônibus. Quantos alunos o colégio colocou em cada ônibus?
    Para resolver esse problema, devemos fazer uma divisão 72 : 4 = 18 , sendo assim cada ônibus tinha 18 alunos.

    EXERCÍCIOS

    1) Calcule as divisões

    a) 20:5= 4
    b) 16:8= 2
    c) 12:1= 12
    d) 48:8= 6
    e) 37:37= 1
    f) 56:14= 4

    2) Observe a igualdade 56:7=8 e responda:

    a) Qual é o nome da operação?
    R: divisão

    b)Como se chama o número 56?
    R: dividendo

    c)Como se chama o número 7?
    R: divisor

    d)como se chama o número 8?
    R: Quociente ou resultado

    3)Efetue as divisões

    a) 492:4= 123
    b) 891:9= 99
    c) 4416:6= 736
    d) 2397:17= 141
    e) 1584:99= 16
    f) 1442:14= 103
    g) 21000:15= 1400
    h) 7650:102= 75
    i) 11376:237= 48


    4) Responda

    a)Qual é a metade de 784?
    R: 392

    b)Qual é a terça parte de 144?
    R: 48

    c)Qual é a quinta parte de 1800?
    R: 360

    d)Qual é a décima parte de 3500?
    R: 350

    5)Em um teatro há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas foram colocadas em cada fileira?
    R: 14 poltronas

    6)Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de vinho?
    R: 63 garrafões

    7)Uma pessoa ganha R$ 23,00 por hora de trabalho. Quanto tempo deverá trabalhar para receber R$ 391,00?
    R: 17 horas

    8)Uma torneira despeja 75 litros de água por hora. Quanto tempo levará para encher uma caixa de 3150 litros ?
    (R: 42 horas)

    9) Numa pista de atletismo uma volta tem 400 metros. Numa corrida de 10.000 metros, quantas voltas o atleta tem de dar nessa pista?
    ( R: 25 voltas)

    10) Um livro tem 216 páginas. Quero terminar a leitura desse livro em 18 dias, lendo o mesmo número de páginas todos os dias. Quantas páginas preciso ler por dia?
    R: 12 paginas

    11)Quantos grupos de 18 alunos podem ser formados com 666 alunos?
    R: 37 grupos

    12)Uma tonelada de cana de açúcar produz aproximadamente 85 litros de álcool. Quantas toneladas de cana são necessárias para produzir 6970 litros de álcool?
    R: 82 toneladas

    DIVISÃO NÃO EXATA

    Nem sempre é possível realizar a divisão exata em N
    considerando este exemplo
    7 : 2 = 3 sobra 1 que chamamos de resto
    Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor

    Exemplo

    Uma industria produziu 183 peças e quer colocá-las em 12 caixas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de peças. Quantas peças serão colocadas em cada caixa?

    resolução
    Para resolver esse problema devemos fazer 183 : 12, tendo como resultado 15 e resto 3.
    Como o resto é 3, dizemos que esta é uma divisão com resto ou uma divisão não exata.
    Logo na caixa serão colocadas 15 peças, sobrando ainda 3 peças.

    EXERCÍCIOS

    1) Determine o quociente e o resto das seguintes divisões:

    a) 79:8= ( R: 9 resto=7)
    b) 49:8= (R: 6 resto=1)
    c) 57:8= (R: 7 resto=1)
    d) 181:15= (R: 12 resto=1)
    e) 3214:10= (R: 321 resto=4)
    f) 825:18= (R: 45 resto=15)
    g) 4937:32= (R: 154 resto=9)
    h) 7902:12= (R: 658 resto=6)
    i) 1545:114= (R: 13 resto=63)                                                
                                                

Nenhum comentário:

Postar um comentário